L'ensemble vide est élément de lui-même

Démonstration


Soient un ensemble E et une partie P de E.

Si P est une partie unique de E, alors P est inclus dans E et E est inclus dans P : P et E sont égaux.

Considérons P(E). Il contient un élément, E. Par définition, l'ensemble de ses parties P(P(E)) est donc : 2 ^ 1 = 2.

Or P(E), comme E, contient une partie unique, P, puisque nous aurions autrement deux fois l'ensemble vide (E), ce qui contredirait son unicité.

Etant donné que E = P, P est simultanément partie et élément de P(E).

Par conséquent, P(E) est un ensemble élément de lui-même : si E appartient à P(E) alors P(E) appartient à E.

D'où : P(E) = E.

P(E) est un ensemble vide.
Il n'existe aucun ensemble non vide pouvant contenir seulement l'ensemble vide.

- Considérons P(P(E) : {§, {§}}. Cet ensemble contient en fait deux fois l'ensemble vide, car {§, {§}} retranché de {§} donne {§}. Donc {§, {§}} = {§} + {§} = {§, §} = {§}.
P(P(E) est égal à P(E).
L'axiomatique § différent de {§} ne peut définir un ensemble.

- E est élément vide de P(E), puisque l'ensemble vide (§) est élément de P(E).
Si P(E) est non vide, E doit être non vide, sinon : {§} = { } = §.
L'élément vide (§) n'appartient à aucun ensemble non vide.
L'ensemble vide (§) ne contient aucun élément non vide.
Puisque § est unique, on dira que {§} est l'ensemble de l'ensemble vide. Il s'agit bien de l'ensemble vide élément (vide) de lui-même.

- Le cardinal de l'ensemble des parties de tout singleton X est : 2 ^ 1 = 2.

P(X) = {X}, §

Si le singleton est l'ensemble vide ({}), on a :

P(X) = {}, § = §

Le singleton vide contient un élément vide, lui-même, et il est égal à l'ensemble de ses parties :

§ = {§}

Donc : l'ensemble des parties d'un ensemble comptant l'ensemble vide parmi ses éléments est :

(2 ^ n) - 1